…о доказательстве слишком многого: почему «слишком много» не является логическим свойством аргумента

Возражение

Выражение «этот аргумент доказывает слишком много» обычно используют против аргумента, принцип которого, по-видимому, поддерживает последствия более широкие, чем заключение, ради которого он был введён. Риторическая структура знакома: посылка или правило принимается для некоторого утверждения \(Q\), но критик замечает, что та же посылка или правило также поддержали бы \(R\), \(S\) или целый класс дальнейших утверждений. Затем широта этих следствий представляется как недостаток исходного аргумента.

Рассмотрим простейшую форму: \[\begin{equation} P \rightarrow Q. \end{equation}\] Предположим, что выявлены дополнительные следствия: \[\begin{equation} P \rightarrow R,\qquad P \rightarrow S,\qquad P \rightarrow T. \end{equation}\]

Ничто в этом расширении не делает исходную импликацию недействительной. Если \(Q\) следует из \(P\), то факт, что \(R\), \(S\) и \(T\) также следуют из \(P\), не приводит к тому, что \(Q\) перестаёт следовать из него. Достаточно сильная посылка может иметь много следствий. В логике нет правила, согласно которому аргумент становится слабее, когда множество его корректных следствий становится больше.

Следовательно, фраза слишком много вводит величину, которая не определяется самим логическим следованием. Нет логического порога, отделяющего приемлемое число следствий от чрезмерного.

Что на самом деле опровергло бы аргумент?

Подлинное возражение требует чего-то большего, чем дополнительные следствия.

Предположим, что \[\begin{equation} P \rightarrow R \end{equation}\] и что существует независимое основание установить \[\begin{equation} \neg R. \end{equation}\] Тогда можно вывести \[\begin{equation} \neg P. \end{equation}\]

Это содержательное возражение против приемлемости \(P\) в качестве посылки. Оно не делает недействительной импликацию \(P \rightarrow Q\); скорее, оно подрывает аргумент, который зависит от истинности \(P\). Его сила исходит из несовместимости между \(R\) и независимо установленным \(\neg R\), а не из того факта, что \(R\) было дополнительным следствием. Выражение доказывает слишком много ничего не добавляет к выводу.

То же относится и к контрпримеру. Если универсальное утверждение имеет вид \[\begin{equation} \forall x\,F(x), \end{equation}\] то продемонстрированный контрпример \(a\), для которого \[\begin{equation} \neg F(a) \end{equation}\] достаточен, чтобы отвергнуть его, поскольку он устанавливает \(\exists x\,\neg F(x)\) и тем самым противоречит универсальному утверждению. Опять же, возражение — это контрпример. Понятие чрезмерного доказательства не требуется.

Третий случай касается предложенного различающего критерия. Предположим, что свойство \(C\) заявляется как отличающее системы класса \(A\) от систем класса \(B\). Если показать, что \[\begin{equation} C(A)=C(B) \end{equation}\] для релевантных представителей обоих классов, тогда \(C\) недостаточно для заявленного различения. Дефект состоит в неспособности критерия различать классы, которые он должен был различать. Дело не в том, что критерий каким-то образом породил чрезмерное количество выводов.

Таким образом, несколько аргументов, иногда описываемых одной и той же фразой, уже полностью задаются обычными логическими отношениями: противоречие, контрпример, провал различения или конфликт с независимо обоснованным утверждением. В каждом таком случае содержательное возражение сохраняется после того, как фраза доказывает слишком много удалена.

Самая сильная интерпретация возражения заслуживает отдельного рассмотрения. В этой интерпретации, доказывает слишком много означает не просто, что посылка имеет много следствий. Это означает, что предложенное основание не различает между предполагаемым заключением и другим заключением, которое сторонник имеет независимое основание отвергать. Это подлинная критика, когда установлены обе части: провал различения и независимое отвергание нежелательного заключения. Но при этой интерпретации фраза всё равно не указывает на дополнительный логический дефект. Аргументативная работа полностью выполняется продемонстрированным провалом различения вместе с независимым основанием отвергать дальнейшее заключение. Слова слишком много лишь сокращают эту структуру.

Следовательно, даже в своей самой сильной интерпретации доказывает слишком много не обозначает независимого логического дефекта. Оно сокращает дефект, который должен быть указан независимо.

Пустой остаток

Это позволяет провести простой тест. Удалите фактическое логическое возражение и оставьте только утверждение о том, что аргумент доказывает слишком много.

Что останется?

В лучшем случае, \[\begin{equation} \forall i \in \{1,\ldots,n\},\qquad P \rightarrow Q_i. \end{equation}\]

Но это не дефект. Это лишь утверждает, что \(P\) имеет несколько следствий.

Чтобы превратить наблюдение в возражение, критик должен добавить ещё одно утверждение: возможно, некоторое \(Q_i\) ложно; возможно, \(P\) утверждалось как различающее случаи, но на деле не различает; возможно, одно следствие противоречит другой посылке; возможно, правило вывода было применено вне своей области. Однако как только это утверждение задано, именно оно и соответствующее логическое отношение выполняют аргументативную работу.

Структуру, следовательно, можно записать схематически как \[\begin{equation} \text{``доказывает слишком много''} = \text{содержательное возражение} + \text{``слишком много''}. \end{equation}\]

Если содержательное возражение корректно, слова слишком много избыточны. Если содержательное возражение отсутствует, слова слишком много пусты.

Это сильнее, чем утверждение, будто доказывает слишком много — лишь неформальное логическое правило. Неясно, есть ли здесь вообще отдельное правило. Фраза может служить разговорным побуждением проверить неожиданные следствия, но неожиданное следствие не становится, в силу своей неожиданности, ложным следствием. Удивление, неудобство, широта и несовместимость с исходным намерением говорящего не являются логическими отрицаниями.

От логического следования к риторическому ожиданию

Слово слишком неизбежно предполагает точку отсчёта. Температура может быть слишком высокой для устройства, масса — слишком большой для моста, или доказательство — слишком длинным для страницы, потому что внешнее ограничение определяет, что считается чрезмерным. Каково соответствующее ограничение в доказывает слишком много?

Это не может быть корректность. Если следствие корректно следует, его наличие не уменьшает корректность.

Это не может быть истинность просто потому, что следствие нежелательно. Нежелательное или контринтуитивное утверждение может быть истинным.

Это не может быть предполагаемый автором охват. Аргумент может обнаружить следствия, которых автор не предвидел. Это открытие может быть важным, но удивление автора не является логическим противоречием.

Следовательно, слишком много обычно измеряет несоответствие между следствиями аргумента и внешним ожиданием относительно того, насколько далеко эти следствия должны были простираться. Это может быть прагматически полезно. Это может подсказать, где искать. Оно не может сказать, что именно мы найдём.

Критик может разумно сказать: «Ваш принцип также влечёт \(R\); приемлемо ли это следствие?» Это запрос на дальнейший анализ. Критик также может сказать: «Ваш принцип влечёт \(R\), но \(\neg R\) независимо установлено». Это аргумент. Преобразование первого высказывания во второе требует доказательства или дополнительной посылки. Фраза доказывает слишком много не может её предоставить.

Асимметрия, скрытая в этой фразе

Есть и дополнительная проблема. Риторика доказывает слишком много поощряет некорректную асимметрию.

Когда аргумент порождает ожидаемое следствие, это следствие рассматривают как свидетельство полезности аргумента. Когда тот же аргумент порождает неожиданное следствие, неожиданное следствие могут вместо этого рассматривать как свидетельство против аргумента лишь потому, что оно выходит за рамки исходной цели.

Но логическое следование безразлично к цели: \[\begin{equation} P\rightarrow Q_i \end{equation}\] имеет одну и ту же логическую форму, независимо от того, было ли \(Q_i\) желаемым, предсказанным, удивительным, неловким или обнаруженным случайно.

Следовательно, релевантный вопрос никогда не заключается в том, доказывает ли принцип больше, чем предполагалось. Релевантные вопросы — оправданы ли его посылки, корректен ли его вывод, правильно ли задана его область, и не вступают ли какие-либо из его следствий в конфликт с независимо установленными утверждениями.

Если ни один из этих сбоев не может быть показан, широта множества следствий не является возражением. Она может, напротив, указывать на то, что принцип более общий, чем было первоначально признано.

Минимальная замена

Фразу можно заменить более точной дисциплиной критики.

Вместо того чтобы говорить

Этот аргумент доказывает слишком много.

следует указать реальный дефект:

Эта посылка также влечёт \(R\), а \(R\) ложно по следующей независимой причине.

или:

Этот критерий в равной степени применим к \(A\) и \(B\), хотя он был введён, чтобы различать их.

или:

Этот вывод распространяет правило за пределы условий, при которых это правило было установлено.

Каждая формулировка указывает на нечто, что можно исследовать. Каждая может быть истинной или ложной. Каждая выявляет посылку, от которой зависит критика.

Напротив, доказывает слишком много позволяет критику перейти напрямую от \[\begin{equation} \text{аргумент имеет более широкие следствия, чем ожидалось} \end{equation}\] к \[\begin{equation} \text{следовательно, аргумент дефектен}, \end{equation}\] не формулируя утверждение, которое сделало бы этот переход корректным.

Это отсутствующее утверждение — не незначительная техническая деталь. Это и есть аргумент.

В логическом следовании не бывает «слишком много»

Корректный аргумент не может стать некорректным потому, что у него слишком много корректных следствий. Обоснованная посылка не может стать ложной потому, что её импликации простираются дальше, чем ожидалось. Критерий может быть слишком широким для заданной классификационной задачи, но тогда дефект — именно его неспособность различать. Следствие может быть ложным, но тогда его ложность должна быть установлена. Правило может порождать противоречие, но тогда противоречие должно быть показано.

В каждом содержательном случае логический дефект имеет имя и структуру, независимые от доказывает слишком много.

То, что остаётся после удаления этих структур, — не аргумент, а реакция на охват.

Решающая дистинкция, следовательно, проста: \[\begin{equation} \boxed{ \text{больше следствий} \;\not\Rightarrow\; \text{ложные следствия} \;\not\Rightarrow\; \text{некорректный аргумент} } \end{equation}\]

Логика спрашивает, следует ли заключение. Она не спрашивает, было ли заключение желанным, ожидаемым, удобным или единственным.

В логическом следовании не бывает «слишком много». Бывает только следование. Если одно из этих следствий неверно, покажите, где оно неверно. Если ни одно нельзя показать неверным, тогда «доказывает слишком много» не доказало ничего.