Diferenciales dependientes del modo y estabilidad de los límites en ecuaciones diferenciales parciales

Las definiciones clásicas de derivadas y de ecuaciones diferenciales parciales se formulan en términos de límites que caracterizan el comportamiento asintótico, pero no codifican la estructura operacional de la convergencia. Sin embargo, en aplicaciones, los límites se realizan mediante procedimientos concretos que implican discretización, escalamiento, ordenamiento y regularización, los cuales pueden influir en los objetos resultantes.

Introducimos los modos de convergencia como objetos matemáticos primarios que representan explícitamente estos procedimientos operacionales. Las derivadas se definen como límites a lo largo de modos, dando lugar a diferenciales dependientes del modo. Luego definimos la estabilidad con respecto a clases de modos y mostramos que la diferenciabilidad clásica es equivalente a la invariancia del diferencial local bajo variaciones admisibles de tales modos.

A nivel de ecuaciones diferenciales parciales, esto conduce a una noción de solución dependiente del modo: en lugar de un único objeto, una EDP genera una familia de límites admisibles asociados con una clase de modos. Para leyes de conservación no lineales, incluida la ecuación de Burgers, mostramos que las soluciones de entropía surgen de clases restringidas de modos, reinterpretando así las condiciones de entropía como restricciones sobre procedimientos de convergencia admisibles, en lugar de condiciones adicionales sobre las soluciones.

Este marco proporciona una conexión unificada y estructuralmente explícita entre el análisis, la aproximación numérica y la observabilidad física, y sugiere una reinterpretación del cálculo diferencial y de la teoría de EDP como teorías de estabilidad sobre espacios de modos de convergencia admisibles.

Palabras clave: modos de convergencia; cálculo dependiente del modo; ecuaciones diferenciales parciales; soluciones de entropía; leyes de conservación; soluciones débiles; viscosidad evanescente; esquemas numéricos; estabilidad de límites; invariancia al modo; sensibilidad al modo; convergencia operacional; análisis multiescala; modos estocásticos; principios variacionales